愛因斯坦的靈感:相對論小史

量子物理與相對論同為近代物理兩大支柱,不過前者為集體創作,後者卻幾乎是愛因斯坦一人的心血。單憑這一點,若要票選本世紀最具代表性的物理大師,愛因斯坦就當之無愧。

弔詭的是,雖然愛氏是個家喻戶曉的傳奇人物,人人知道他可以和相對論劃上等號,對於相對論稍有認識的人卻少得可憐。甚至大多數人都不知道相對論其實有兩種:「狹義相對論」(俗稱特殊相對論)與「廣義相對論」(俗稱一般相對論)。這並非由於相對論的物理意義或數學結構過分深奧,而是因為愛氏的光環過分刺眼,令大多數人只敢在遠處膜拜,而不敢貼近一探究竟。

其實對一般人而言,要一窺相對論的堂奧並沒有想像中困難,只要把愛氏從神壇上請下來現身說法,就不難從他當年的靈感中領悟一二。

☆ 狹義相對論的靈感:苦思十載一朝頓悟

自一八九五年起,十六歲的愛氏便開始認真思考一個問題:「假如我以光速跟隨一道光束飛行,我會看到哪些奇異景象?比方說,這道光束若是由一座時鐘反射出來,我應該看到一座靜止的鐘,也就是說在我眼中,那座鐘的時間是靜止的;可是在別人看來,同樣的鐘卻在滴答滴答走,這是不是矛盾呢?」愛氏心中這個「臆想實驗」,已經埋下發明狹義相對論的種子。

事實上,當時古典物理學殿堂已是山雨欲來風滿樓,有三個看似矛盾的現象孕育著革命的火種。矛盾一是實驗證明以太與地球竟然沒有相對運動;矛盾二是馬克士威方程組在加利略變換下竟然會變形;矛盾三是馬克士威方程組無法解釋電磁感應的「對稱性」(感應電流只取決於磁體與線圈的「相對運動」)。

在新舊世紀之交,已有物理界前輩如菲次吉拉、洛倫茲、龐加萊等人提出各自的解決方案,多少修補了上述矛盾對物理殿堂的損害。然而那些都是在古典物理架構下的折衷理論,缺乏邏輯的完備性與體系的嚴密性。

身為一位剛出道的物理學家,愛氏當然不會在這場盛會中缺席。不過在此要強調的是,雖然許多教科書都說是矛盾一刺激愛氏提出狹義相對論,可是根據鮮為人知的正史,矛盾三才是愛氏真正的出發點。

一九○五年,愛氏對這類問題已經苦思十載,需要的只是臨門一腳,就能踢出一個劃時代的新理論。在與好友貝索(M. Besso)偶然的一場討論後,這個有如導火線的靈感終於浮現。愛氏突然體認到,解決問題的關鍵在於必須挑戰傳統的「絕對時間」與「同時性」這類概念;其實「絕對時間」並不存在,而時間與訊號速度(光速)之間有密不可分的關係。值得注意的是,這些領悟與上述那個臆想實驗遙相呼應。

這個靈感替愛氏打通任督二脈,不出五個星期,他就寫好了狹義相對論的歷史性論文〈論運動物體的電動力學〉。在這篇論文中,他只用兩個公設作出發點:

一、光速恆定:在任何慣性座標系中,不論光線源自靜止或運動的光源,光速一律是常數。

二、相對性原理:物理定律在任何慣性座標系中都具有相同形式。

同時愛氏特別指出,在他的理論中以太是多餘的,因為他的舞台是任何慣性座標系,無需特別假設一個絕對靜止的座標系。

根據上述兩項公設,愛氏就導出了精確的「洛倫茲變換」,再利用這個變換導出長度收縮、時間膨脹、同時性的相對性,以及質量隨速度增加的公式和新的速度合成法則,由此形成一套嶄新的時空觀。

這個理論後來訂名為狹義相對論,是因為它僅能涵蓋慣性座標系。至於如何推廣到非慣性座標系,愛氏一時之間也沒有概念,只好耐心等待下一個靈感。

☆ 廣義相對論的靈感:一生中最快樂的一個念頭

在真實物理世界中,慣性座標系只是個理想狀況,例如重力場無所不在,而物體受重力作用就會做加速度運動。愛氏原先的構想,是直接推廣狹義相對論來涵蓋各種非慣性座標系。然而不久之後,他就得到一個令人沮喪的結論:在狹義相對論的架構下,絕對不可能有完善的重力理論。

愛氏只好另闢徯徑,試圖突破狹義相對論的框架,尋找一個更強而有力的架構。皇天不負苦心人,一九○七年某一天,他坐在瑞士專利局的辦公室裡,腦中突然閃出一個靈感:「一個在半空中墜落的人,完全感覺不到自己的重量,應該覺得自己好像置身於慣性座標系!」

愛氏後來宣稱,這是他一生中最快樂的一個念頭,因為它成了廣義相對論的敲門磚。耐人尋味的是,它和那個以光速飛行的臆想實驗有異曲同工之妙:一個是以光速飛行,抵消了光速,因而看到一座靜止的時鐘;一個是在重力場中墜落,抵消了重力加速度,因而感覺不到任何重力。

根據這個看似平淡無奇的想法,同年愛氏寫出第一篇有關廣義相對論的論文,提出廣義相對論的兩個公設:

一、等效原理:加速度造成的「重量感」與真正的重力效應一模一樣(實驗證據為慣性質量和重力質量的等價性)。

二、廣義相對性原理(廣義協變性):物理定律在任何座標系中都具有相同形式。

同樣是從兩個公設出發,愛氏鑽研廣義相對論卻經歷了一段曲折得多的路程。其中最主要的困難,在於當時物理學界所熟知的數學工具似乎都搔不到癢處。

一九一二年,愛氏終於體認到傳統的幾何學不適用於重力場,遂開始在老同學格羅斯曼的幫助下學習「黎曼幾何」與「張量分析」。掌握這些新利器之後,研究工作總算撥雲見日,終於逐步建立起廣義相對論的完備體系:以四維時空的彎曲幾何結構表現重力場。牛頓的重力理論自此功成身退,成了愛氏理論中的一個特例。

〔參考資料〕
《中國大百科全書:物理學》, 中國大百科全書出版社
《物理學史》,郭奕玲、沈慧君合著, 清華大學出版社
《愛因斯坦》(上),D. Brian著,鄧德祥譯,天下遠見出版公司
〈巨人肩上的巨人〉,葉李華著,科學月刊1999年十月號

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表一:相對論英雄榜(出場序)

加利略 Galileo Galilei (1564-1642)
牛頓 Isaac Newton (1642-1727)
法拉第 Michael Faraday (1791-1867)
黎曼 Bernhard Riemann (1826-1866)
馬克士威 James Maxwell (1831-1879)
莫雷 Edward Morley (1838-1923)
厄特弗 Baron von Eo:tvo:s (1848-1919)
菲次吉拉 George Fitzgerald (1851-1901)
邁克生 Albert Michelson (1852-1931)
洛倫茲 Hendrik Lorentz (1853-1928)
龐加萊 Henri Poincar'e (1854-1912)
希伯特 David Hilbert (1862-1943)
閔可夫斯基 Hermann Minkowski (1864-1909)
格羅斯曼 Marcel Grossmann (1878-1936)
愛因斯坦 Albert Einstein (1879-1955)
愛丁頓 Arthur Eddington (1882-1944)

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表二:相對論大事記


1831:法拉第發表「電磁感應定律」

1864:馬克士威發表「馬克士威方程組」

1887:邁克生-莫雷干涉實驗(證實地球與以太沒有相對運動)

1889:厄特弗扭秤實驗(證實慣性質量與重力質量幾乎一致)

1889:菲次吉拉提出「長度收縮」公式 1904:龐加萊提出「相對性原理」

1904:洛倫茲發表「洛倫茲變換」的二階近似式(精確的「洛倫茲變換」由愛氏於次年導出)

1905:愛氏於《物理學年報9月號》發表〈論運動物體的電動力學〉提出狹義相對論

1905:愛氏於《物理學年報11月號》發表〈物體之慣性與其所含之能量有關嗎?〉預測「質能關係」E=mc^2

1907:愛氏提出「等效原理」為廣義相對論鋪路

1907:閔可夫斯基提出「四維時空連續體」數學架構

1913:愛氏與格羅斯曼聯合發表〈廣義相對論綱要與重力理論〉

1915:愛氏發表數篇廣義相對論相關論文

1915:希伯特以不同方法,與愛氏幾乎同時導出廣義相對論的重力場方程式

1916:愛氏發表〈廣義相對論之基礎〉總結廣義相對論之研究

1917:愛氏根據廣義相對論提出靜態宇宙模型(後證明有誤,正確模型於五年後陸續由他人提出)

1919:愛丁頓以天文攝影為廣義相對論提供重要佐證(星光經過太陽附近確實會發生偏折)

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表三:相對論詞彙

•牛頓重力定律(Newton's law of gravity):
亦稱「萬有引力定律」。認為一切具有質量的物體都會互相吸引,吸引力正比於兩者質量的乘積,反比於兩者距離的平方,比例常數稱為(牛頓)重力常數,通常記為G。

•以太(ether;aether):
一種早已被實驗否定的假想物質。十九世紀的物理學家假設電磁波也需要介質,這種介質便是所謂的以太。根據理論,以太假如真正存在,則應不具質量、充斥宇宙各個角落,而且在宇宙中絕對靜止。

•加利略變換(Galilean transformation):
古典力學中兩個慣性座標系之間的時空座標關係式。其中只有空間座標發生轉換,兩者的時間座標毫無差異,因為兩者皆用絕對時間。

•光速(speed of light):
電磁波或光子在真空中行進的固定速率,通常記為c,是基本物理常數之一。如今光速「定」為每秒恰好二九九,七九二,四五八公尺,公尺的長度則根據上述光速來定義。

•同時性(simultaneity):
某觀測者若測得兩個事件同時發生,則稱這兩個事件「相對於該觀測者」具有同時性。不過對於其他觀測者而言,這兩個事件卻不一定同時,因此「同時」並非絕對的物理概念。

•協變(covariant):
一個物理定律以某方程式表示時,若在不同的座標系中,該方程式的形式一律不變,則稱該方程式為協變。一般而言,同一物理定律可用不同形式的方程式表示,這些方程式有些為協變,有些則否。

•長度收縮:
即「菲次吉拉收縮」。

•洛倫茲變換(Lorentz transformation):
兩個慣性座標系之間的時空座標關係式,由兩座標系的相對速度決定。在這個轉換式中,空間座標與時間座標皆進行轉換。洛倫茲變換為狹義相對論的數學基礎,由洛倫茲最先以數學方法導出近似式,其精確形式與物理意義則是愛因斯坦的貢獻。兩座標系之相對速度若比光速小很多,則洛倫茲變換就近似於加利略變換。

•重力(gravity;gravitation):
俗稱萬有引力,是自然界四種基本作用力中最微弱的一種。任何具有質量或等效質量的粒子都會產生重力,因此任何兩個物體之間皆存在有重力作用。

•重力質量(gravitational mass):
在古典物理學中,質量具有兩種表徵,其中牛頓重力定律所描述之質量稱為「重力質量」。

•重力場方程式(gravitational field equations):
廣義相對論的基本方程式,是一組具有十個分量的張量方程式,描述物質與能量的存在如何使時空結構彎曲,重力則隱含在彎曲的時空中。牛頓重力定律是這組方程式在特例下的近似。

•時空連續體(space-time continuum):
時間與空間共同組成的四維時空結構,由閔可夫斯基最先提出。在平直的四維時空連續體中,「距離」s的定義為s^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2,其中x、y、z為空間座標,t為時間座標,c為真空光速。由此即可看出,它與四維歐氏空間最大的不同,在於第四個座標在「四維畢氏定理」中的地位。彎曲的四維時空連續體可視為前者的推廣,正如彎曲的N維空間是歐氏N維空間的推廣。

•時間膨脹(time dilation):
根據狹義相對論中的洛倫茲變換,在靜止的觀測者看來,運動中的時鐘走得較慢,意即觀測者本身的時間會發生膨脹。膨脹因子為(1-v^2/c^2)^-0.5,其中v為時鐘相對於靜止觀測者的速度,c為真空光速。

•狹義相對論(special theory of relativity):
愛因斯坦於一九○五年所發表的理論。它根據兩項公設,導出度量時間與空間的正確觀念。對速率接近光速的物體,牛頓力學的描述有重大誤差,狹義相對論則有正確的描述。

•馬克士威方程組(Maxwell's equations):
能夠完全描述電磁現象的一組四個(微分)方程式,由馬克士威首先整理出來。包括電的高斯定律(庫侖定律為其特例)、磁的高斯定律、法拉第電磁感應定律,以及馬克士威修正過的安培定律。

•張量(tensor):一種數學量,其特點為在座標變換時遵循一定的規律。根據變換規律的不同,可將張量分為零階、一階、二階……其中零階張量即純量(例如溫度),一階張量即向量(例如力)。任何物理量皆可歸為某階張量,例如電場與磁場同為某二階張量的分量。

•等效原理(principle of equivalence):
廣義相對論的基本假設。認為置身於等加速座標系中的觀測者,無法以任何物理方法分辨究竟是本身在加速抑或置身某重力場中。

•菲次吉拉收縮(Fitzgerald contraction):
根據狹義相對論中的洛倫茲變換,在靜止的觀測者看來,運動中的物體其長度會沿運動方向收縮。收縮因子為(1-v^2/c^2)^0.5,其中v為物體相對於靜止觀測者的速度,c為真空光速。由此可見物體運動愈快,產生的菲氏收縮愈多,但由於收縮量很小,因此只有在物體接近光速時才較明顯。

•黑洞(black hole):
廣義相對論預測的一種特殊天體,其特徵為具有封閉的「視界」,也就是黑洞的邊界。外界的物質或輻射可以進入這個視界,但是若不考慮量子效應,視界內的物質與輻射不可能跑出來。就天文學的角度而言,黑洞是某些恆星演化的終站,如今幾乎已能確定黑洞的存在。

•電磁感應(electromagnetic induction):
變動的磁場產生電場的現象。一八三一年,法拉第首先提出電磁感應的數個例子,例如磁體與線圈的相對運動會在線圈中感應出電流。

•慣性座標系(慣性參照系)(inertial frame):
為標定事件發生的時刻與位置而選取的時間座標與空間座標稱為(參考)座標系。若在某一座標系中,不受外力的物體必保持靜止或做等速度運動,此座標系就屬於慣性座標系。

•慣性質量(inertial mass):
在古典物理學中,質量具有兩種表徵,其中牛頓第二運動定律(作用力正比於質量及加速度)所描述之質量稱為「慣性質量」。

•廣義相對論(general theory of relativity):
愛因斯坦於一九一五、六年間所發表的理論,將狹義相對論的慣性座標系推廣到非慣性座標系(例如旋轉座標系、重力場中的座標系)。主要內容是將重力解釋成彎曲時空中的幾何結構,從而導出比牛頓重力定律更精確的重力理論。廣義相對論已通過數項驗證,如今是天體物理學與宇宙學的基本工具。

•質能關係(energy-mass relation):
即愛因斯坦導出的著名公式E=mc^2(能量等於質量乘以光速的平方),指出能量與質量實為一體的兩面。

•質量(mass):
粒子攜帶的一種基本物理量,是重力場的發射源(由牛頓重力定律或廣義相對論描述),亦是慣性的來源(由牛頓第二運動定律描述)。

•黎曼幾何(Riemannian geometry):
黎曼將曲面微分幾何學推廣至N維流形而發展出的幾何學。其中N維流形擁有一個度量「無限小長度平方」的二次式(可視為畢氏定理的推廣),由此即可定義長度、角度、曲率等幾何量,進而研究這個N維流形的各種性質,而不需要將它嵌入(N+1)維空間中。

•靜質量(rest mass):
亦稱靜止質量。對靜止於某座標系的質點而言,在此座標系中測得的質量稱為其靜質量。根據狹義相對論,運動中質點的質量會隨著速度增加。

•臆想實驗(Gedanken experiment):
亦稱想像實驗。為解釋或檢驗某一理論,理論物理學家常根據現有知識設計一些紙上實驗,作為具體的論證對象,此即所謂臆想實驗。臆想實驗之目的不在求得結果,而在檢驗一個理論的正誤。

 

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