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磁磚和壁紙的幾何

　　徐志摩筆下的名句「數大便是美」常常被人拿來開玩笑，其實只要改成「數大就是美」便安全了。文學語言講究空靈至上，絕不會加上什麼前提或條件，所以千萬不要雞蛋裡挑骨頭，拿垃圾山來反駁這句話。其實徐大詩人心中真的藏著一個前提，那就是除了「數大」之外，還必須滿足「整齊劃一」這個條件。

　　什麼是整齊劃一呢？用比較科學的語言來說，就是對稱性(整齊)和重複性(劃一)。重複性是指這堆「數目很大」的東西彼此相似，對稱性則是指它們有規律的排列方式。倘若這樣講過於抽象，那麼磁磚或壁紙的圖案都是最好的例子。

　　可別小看磁磚排出的圖案或是壁紙上的花紋，因為兩者都隱藏著相當深奧的數學原理。好在無論多麼深奧的學問，只要能夠畫出圖來，就一定能靠直覺理解，所以千萬不用害怕。而對那些重複且對稱的圖案來說，或許美感就是我們最基本的直覺。

　　因此之故，早在數學家有系統地研究這些圖案之前，藝術家早已憑藉直覺畫出各種可能的變化。(這不禁讓我們懷疑，在人類大腦中，數學與藝術是不是同出一源？)究竟有多少變化呢？說來也許難以置信，總共不過十七種而已。換句話說，古今中外、世界各地無論多麼複雜的磁磚或壁紙，歸納起來就只有十七種圖案。在這個問題上，數學家最大的貢獻就是確定「十七」這個數字。因此如果您是藝術家，可別不信邪，非要找出第十八種不可，因為數學家已經嚴格證明那是不可能的。

　　有興趣的讀者，只要上網找關鍵字Wallpaper Groups，就能立刻看到這十七種圖案的範例。如果想欣賞這類藝術創作，那麼輸入Escher應該不會讓您失望。不過在開機上網之前，我建議大家都拿出紙筆，儘可能畫出您所能想到的重複對稱圖案。

　　這個數學遊戲最適合親子同樂，因為它能培養幼童對空間和對稱的直覺。培養這樣的直覺有什麼好處呢？直截了當的答案是可以為數學學習鋪路。這是因為雖然數學是最嚴謹的科學，其原動力仍然是對數字和空間的直覺──而數字和空間又總是相輔相成。目前台灣行之有年的建構(式)數學，最大的問題就是違─反─直─覺，所以筆者敢大膽預言它注定失敗。既然學校的數學教育違反直覺，做家長的總該想辦法自力救濟，比方說如上所述，利用像壁紙圖案這類美麗的幾何圖形，激發出學童天生的數學直覺。

　　除了磁磚和壁紙的圖案之外，美麗的幾何圖形還多得數不清。若是突破平面的限制，立體形體的變化更是令人目不暇給。筆者在此樂意推薦天下文化今年出版的一本好書《典雅的幾何》，在這本不到兩百頁的小冊子裡，幾乎囊括了一切「典雅的幾何圖案與形體」。雖然這是一本通俗數學讀物，但若把它當成課外美勞教材，保證會有意想不到的妙用。

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