自力救濟學數學(一)

寂寞的小書

  其實《典雅的幾何》應改名為《好玩的幾何》,這本書應該不是拿來讀,而是拿來玩的。這是本寂寞的書,跟天下文化的其它暢銷科普書相比,比較不受到重視。這本書之所以寂寞的原因很多,除了可能是因為天下文化出過太多好的科普書,不容易發現此書的特色,而且這本書輕薄短小,在書架上較不引人注意,另外就可能是受「幾何」二字所害,令人望文生畏,立即聯想到令人頭皮發麻的數學。

  既然這本書很寂寞,那麼就更該談談,為它平反一下。一般人看到「幾何」便會頭痛,然而《典雅的幾何》正是破除故舊迷思最好的一本書。任何人其實對圖形都會有直覺,甚至是對美感的欣賞。幾何是從圖形慢慢抽象、量化而來的,但無論如何,幾何學的出發點是對圖形本身的直覺。我們現在學數學從算術開始,然後再學代數和幾何,這三者其實是有關聯性的,假使對幾何有直覺上的排斥感,相信算術、代數也學不好的。其實在數學裡面,數字跟圖形是不分家的,它們是一體二面、相輔相成的,所以這本書在數學教育上面,我覺得會有很大的幫助。

  其實數學研究最主要的兩樣東西,大略來說就是較抽象的數字、符號,以及較具象的平面圖形和立體形體,這二大類我們可以簡稱為「數」和「圖」,二者是相輔相成的。

  「數」是指算術與代數,「圖」就是幾何。至於英文的geometry為什麼會翻譯成「幾何」,研究數學史的人,尤其是中國數學史的專家,他們有好幾種不同的理論。最簡單的一個理論說,很可能是從geometry中「geo」的音譯,但是也有人反對這個說法,因為幾何二字自古就有,比方中國詩、詞裡面的「人生幾何」。

圖形的直覺

  無論如何,幾何這二字已被大家用習慣了,故不可能更改用法,但我總認為幾何就是研究圖形的數學,而任何人對圖形都會有天生的直覺,所以我覺得學數學,與其從數字著手,倒不如從圖形來下手。我舉個典型的例子,電腦發展到哪個階段才變得親切,從二歲小孩到八十歲老人家都會使用?那就是從視窗出現之後,因為視窗為圖像式語言,較容易為社會大眾接納;在此之前,面對著電腦必需輸入程式語言及指令才能動作,就只有專業人士、學生及老師才懂得使用。這就是電腦溝通的方式,從符號語言演變成圖形語言。其實這類例子非常多,任何一門學問只要能用圖像表示,就能用直覺來接受,就很容易普及,達到大眾化。

  事實上《典雅的幾何》是二本非常類似的小書合在一起,作者其實不算有名的科普作者,但他們的寫作風格非常類似,所以才把他們的作品合在一起,否則本書將會更薄。這二個作者都是藝術家及設計家,或許這也可以破除一些迷思,其實它根本就不是數學書,而是一本蠻實用的設計手冊。

  我目前在交通大學建築所任教,本身所學卻非建築,下學期我準備開一門課叫「規則幾何造型」,就要拿《典雅的幾何》當作課本。我可以把幾何以非常廣義的方式來解釋,因為《典雅的幾何》裡面,幾乎把規則的形體無所不包、無所不容,一學期三學分的課,搞不好還講不完呢!其實這就是數學的精神之一,也就是「以簡馭繁」;數學可以從複雜的東西抽出一些簡單的規則,倒過來說則是用這些簡單的規則畫成非常複雜的圖形,然後把你唬得一楞一楞的。

  《典雅的幾何》適合任何年齡層的讀者,只要對圖形開始有直覺的小孩,只要會辨識圓的或方的,就可以開始慢慢玩這些東西。怎麼玩呢?拿厚紙、剪刀、漿糊或膠水來,就可以剪剪貼貼出非常多有趣的東西。學齡前的孩子都可以學得會,這是非常適合親子同樂的遊戲。

  這本書特別有趣的是,它把製作的過程一一介紹,譬如說書末所有的規則立體圖形都有展開圖。其實在很多的兒童雜誌、報紙等常常都會有這些東西,叫你把厚紙板黏在報紙上,然後剪開來,折起來,這邊與那邊黏起來,就會變成很有趣很漂亮的圖形了。例如,正二十面體是非常美麗的結構,而且在所有科學及藝術裡面都非常有用,一般人通常看過就算了,可是仔細來研究的話,就可以貫穿藝術、科學等每一個領域。這絕對不是吹牛,可以擷取的例子很多。

包羅萬「形」

  這本小書包羅萬象,凡是有規則、有美感的幾何圖形及形體,平面的、立體的,都包容在它不到二百頁的書裡。前半部講的是平面的部分,最有趣的為整齊畫一的圖形,可以無限延伸,最好的例子就是壁紙和磁磚。如果我們仔細看磁磚,會發現它有五花八門、各種不同的變化;壁紙上的花紋也是一樣。其實在幾何學裡面,這可以說是相當有深度的一門學問,也就是怎樣將這些整齊劃一的圖案來分類。

  站在藝術家的立場,他一定會說:「我每天都可以發明新的、整齊畫一的圖案。」若是問數學家的話,數學家會說:「不是這樣子,如果嚴格分類的話,僅十七種而已。」假如有一個藝術家聲稱找到一種新的圖案,一定是他不小心從這十七種裡面的某一種裡多了些變化,但還是逃不出這十七種範疇。為何不多不少、剛好是十七呢?這必需用數學來證明了,這牽涉到數學裡非常深的理論,叫做群論,在此不多做說明。

  雖然這些東西都與數學、幾何學息息相關,可是我們想要了解、欣賞,可以完全不需要用到數學。這本小書告訴我,這些整齊畫一的平面花紋、圖案共有十七種,這就足夠了。因此能收集到的資料,《典雅的幾何》都已為我們收集好了。

  一片樹葉斜斜的擺,一排一排的排出來,這也是一種圖案。如果說樹葉換成楓葉,那可以說是多一種圖案嗎?就藝術的眼光來看,這是另外一種不同的圖案,但就數學來說,只是把普通的樹葉換成楓葉,只是換湯不換藥,所以這個規律就出來了。再以方格子來說,方格子的變形就是長方形的格子,也一定可以把平面貼滿,可以無限延伸。那三角形可不可以呢?正三角形也可以。如果把幾個正三角形湊在一起,變成正六邊形,你會發現正六邊形也可以貼滿平面。因此當這些基本圖形做一些重複、組合的時候,也可以做無限的延伸。若是以個人直覺來畫,永遠不知道到底有多少種,但數學家已經告訴我們了,放心,一共就十七種。數學好玩的地方就是可以找到精確的答案。

柏拉圖的立體

  書中第二部分,也就是立體幾何的部分,先談到五個正多面體。正多面體就那幾種而已,不會再多了,這是非常非常有趣的事,在柏拉圖的時代就知道了。不知是否由柏拉圖本人發現,但確知來自這個學派。在西方,這五種形體叫做「柏拉圖立體」,而且也只有五種,很容易就可以證明沒有第六種。

  哪五種呢?方糖就是一種(正立方體),這是最符合直覺的圖形;最簡單的正四面體看起來像金字塔,但不是埃及金字塔的形狀,因為埃及金字塔的底是正方形,側面是三角形,所以可以把金字塔再簡化,讓底也變成三角形,就變成四個三角形湊在一起。埃及金字塔是個多面體,卻不是正多面體,正多面體必需每一面都一樣。如果我們拿硬紙板,剪出完全一樣大小的四個正三角形,就可以搭起來,像搭帳棚一樣,這就是正四面體。

  最符合直覺的形體,方糖是一種,正四面體(有點像金字塔的)是另一種。但正多面體總共五種,分別有四面、六面(方糖)、八面、十二面、二十面。其實正二十面體也很簡單,就是拿二十個正三角形,統統把它黏起來就可以了;八面體則是八個正三角形所構成的,看起來像錐狀,有點像立體的菱形,像二個底部相接的金字塔。

  從數學的角度來看,最好玩的就是正多面體只有這五種,絕對沒有第六種。這件事情符合不符合直覺呢?其實相當符合直覺,如果有黑板的話,我可以在五分鐘之內,說服任何一個國中生接受這個證明。這個證明題非常簡單,說穿了一文不值,但一般人就是沒注意到這件事。

自然與藝術

  這些正多面體可以貫穿很多的科學和藝術。隨便舉個例子,比方正二十面體,它在生物學上面也蠻重要的,因為在自然界裡面,有很多的生物體有這種結構。最簡單的例子就是病毒,很多病毒在電子顯微鏡之下,顯示出來就是標準的正二十面體,因為病毒本身就是這樣的結構。

  現在奈米科技很熱門,奈米科技裡面也會用到非常多的正二十面體,它跟一些材料的結構很有關係。其實這個正二十面體跟足球也很有淵源,足球外表貼的那些黑的、白的,黑的是五邊形,白的是六邊形,其實它的前身就是正二十面體。怎麼做呢?非常簡單,用厚紙板黏出一個二十面體,它有十二個尖尖的角,把這十二個尖尖的角統統都削掉,每一個角都會變成一個五邊形,然後把那五邊形貼上黑的,剩下的那些三角形就變成六邊形,看起來就很像足球了。

  藝術方面我再舉個例子。四度空間非常非常難講,簡直是虛無飄渺,但科學家和藝術家都在試圖用他們的想像力,探索「假設的四度空間」。譬如方糖,在四度空間裡的方糖會是什麼樣子,我們可以設法在三度空間裡做一個模型,來模擬四度空間裡的方糖,但這必需是個展開圖。就好像方糖有六面,我可以把這六面通通都攤開在桌面上,就是把方糖的立體變平面,看起來就像十字架。

  同理在四度空間裡面的超級方糖,如果變成在三度空間裡面,它看起來也很像十字架,是八個方糖碰在一起的十字架,所以它不是真正的十字架。有個畫家達利,他曾畫一幅畫,畫一個人掛在十字架上。純粹從藝術角度來欣賞,會覺得這個十字架有點怪,除了左右有兩塊讓兩隻手釘上去,前後還各突出一塊。事實上那就是四度空間的方糖在三度空間的展開,所以達利是真的知道這些數學,他不是隨便畫出來的。他的目的是讓會看的看門道,不會看的看熱鬧。達利的作品看起來很深邃、很典雅,這就是數學與藝術最完美的結合,所以我非常非常佩服達利這個畫家。

錦上添花的立體

  書中還提到十三種阿基米德的立體,比方把正二十面體的尖角削掉,就是一種阿基米德的立體。阿基米德比柏拉圖還晚,所以他必需做一些錦上添花的工作,找一些雖然有規則,但不是真正「正」的形體。比方像足球,就不能說它是正多面體,因為它是由六邊形與五邊形二種所拼起來的。經過這樣的推廣,我們又找出十三種漂亮、有規則,但不能說是「正」的多面體,它們在科學上也相當有用。

  後來又有人說,如果我在這些規則的立體上,再加些向外突出、像牛角那樣的東西,向外參差不齊的延伸,但是本身仍有規則,那不就是進一步的推廣。這等於是三部曲,從柏拉圖的五種「正」多面體,推廣到十三種阿基米德的立體,再推廣成有尖角、像刺蝟一樣的形體。譬如尖角粽、香包之類的,就跟最後這一類不謀而合。

違反直覺的建構式數學

  數學真的是脫離不了直覺,數學如果脫離直覺就只有枯萎。所以不論是高深或淺顯的數學,都應該符合直覺。人跟電腦不一樣,電腦要保持理性,但是連科學家也要憑著直覺來做事。所謂「大膽假設、小心求證」,大膽假設憑的是直覺,小心求證憑的是理性,二者缺一不可。數學教育應該也是一樣,從小培養對數學的直覺,也就是對圖形和數字的直覺,我覺得非常重要。

  可惜的是,根據我的觀察,最近六、七年來推行的建構式數學與這一點相當違背。建構式數學非常的死板,訓練出來的小孩子不把數學當數學,而把數學當成硬幫幫的法條;他們必需循規蹈矩、守法重紀才能夠得高分,不能夠有一點點的偏離,這絕對不是數學教育的正確方向。

  如果從數學史來看數學發展,數學是從古到今很多的數學家慢慢摸索出來的,他們摸索的過程,其實跟我們從小學到中學到大學學習數學的過程非常接近,所以有些人認為最好的學習方式,就是重新走一遍數學發展史。同理,物理怎麼學?就是重新走一遍物理發展史。我們現在的建構式數學,則完全沒有做到這一點。

  我大概一年半以前開始發現這個問題,過去一年半,我和很多人談過,從小學生、小學老師、家長到數學教授,大家都口徑一致、怨聲載道。可是怎麼辦呢?我想最有效的辦法就是自力救濟,而《典雅的幾何》就是最好的選擇。


謝馥芸整理自教育電台訪談錄音,《科學月刊》2003年7月號轉載



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