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自力救濟學數學(一)

寂寞的小書

　　其實《典雅的幾何》應改名為《好玩的幾何》，這本書應該不是拿來讀，而是拿來玩的。這是本寂寞的書，跟天下文化的其它暢銷科普書相比，比較不受到重視。這本書之所以寂寞的原因很多，除了可能是因為天下文化出過太多好的科普書，不容易發現此書的特色，而且這本書輕薄短小，在書架上較不引人注意，另外就可能是受「幾何」二字所害，令人望文生畏，立即聯想到令人頭皮發麻的數學。

　　既然這本書很寂寞，那麼就更該談談，為它平反一下。一般人看到「幾何」便會頭痛，然而《典雅的幾何》正是破除故舊迷思最好的一本書。任何人其實對圖形都會有直覺，甚至是對美感的欣賞。幾何是從圖形慢慢抽象、量化而來的，但無論如何，幾何學的出發點是對圖形本身的直覺。我們現在學數學從算術開始，然後再學代數和幾何，這三者其實是有關聯性的，假使對幾何有直覺上的排斥感，相信算術、代數也學不好的。其實在數學裡面，數字跟圖形是不分家的，它們是一體二面、相輔相成的，所以這本書在數學教育上面，我覺得會有很大的幫助。

　　其實數學研究最主要的兩樣東西，大略來說就是較抽象的數字、符號，以及較具象的平面圖形和立體形體，這二大類我們可以簡稱為「數」和「圖」，二者是相輔相成的。

　　「數」是指算術與代數，「圖」就是幾何。至於英文的geometry為什麼會翻譯成「幾何」，研究數學史的人，尤其是中國數學史的專家，他們有好幾種不同的理論。最簡單的一個理論說，很可能是從geometry中「geo」的音譯，但是也有人反對這個說法，因為幾何二字自古就有，比方中國詩、詞裡面的「人生幾何」。

圖形的直覺

　　無論如何，幾何這二字已被大家用習慣了，故不可能更改用法，但我總認為幾何就是研究圖形的數學，而任何人對圖形都會有天生的直覺，所以我覺得學數學，與其從數字著手，倒不如從圖形來下手。我舉個典型的例子，電腦發展到哪個階段才變得親切，從二歲小孩到八十歲老人家都會使用？那就是從視窗出現之後，因為視窗為圖像式語言，較容易為社會大眾接納；在此之前，面對著電腦必需輸入程式語言及指令才能動作，就只有專業人士、學生及老師才懂得使用。這就是電腦溝通的方式，從符號語言演變成圖形語言。其實這類例子非常多，任何一門學問只要能用圖像表示，就能用直覺來接受，就很容易普及，達到大眾化。

　　事實上《典雅的幾何》是二本非常類似的小書合在一起，作者其實不算有名的科普作者，但他們的寫作風格非常類似，所以才把他們的作品合在一起，否則本書將會更薄。這二個作者都是藝術家及設計家，或許這也可以破除一些迷思，其實它根本就不是數學書，而是一本蠻實用的設計手冊。

　　我目前在交通大學建築所任教，本身所學卻非建築，下學期我準備開一門課叫「規則幾何造型」，就要拿《典雅的幾何》當作課本。我可以把幾何以非常廣義的方式來解釋，因為《典雅的幾何》裡面，幾乎把規則的形體無所不包、無所不容，一學期三學分的課，搞不好還講不完呢！其實這就是數學的精神之一，也就是「以簡馭繁」；數學可以從複雜的東西抽出一些簡單的規則，倒過來說則是用這些簡單的規則畫成非常複雜的圖形，然後把你唬得一楞一楞的。

　　《典雅的幾何》適合任何年齡層的讀者，只要對圖形開始有直覺的小孩，只要會辨識圓的或方的，就可以開始慢慢玩這些東西。怎麼玩呢？拿厚紙、剪刀、漿糊或膠水來，就可以剪剪貼貼出非常多有趣的東西。學齡前的孩子都可以學得會，這是非常適合親子同樂的遊戲。

　　這本書特別有趣的是，它把製作的過程一一介紹，譬如說書末所有的規則立體圖形都有展開圖。其實在很多的兒童雜誌、報紙等常常都會有這些東西，叫你把厚紙板黏在報紙上，然後剪開來，折起來，這邊與那邊黏起來，就會變成很有趣很漂亮的圖形了。例如，正二十面體是非常美麗的結構，而且在所有科學及藝術裡面都非常有用，一般人通常看過就算了，可是仔細來研究的話，就可以貫穿藝術、科學等每一個領域。這絕對不是吹牛，可以擷取的例子很多。

包羅萬「形」

　　這本小書包羅萬象，凡是有規則、有美感的幾何圖形及形體，平面的、立體的，都包容在它不到二百頁的書裡。前半部講的是平面的部分，最有趣的為整齊畫一的圖形，可以無限延伸，最好的例子就是壁紙和磁磚。如果我們仔細看磁磚，會發現它有五花八門、各種不同的變化；壁紙上的花紋也是一樣。其實在幾何學裡面，這可以說是相當有深度的一門學問，也就是怎樣將這些整齊劃一的圖案來分類。

　　站在藝術家的立場，他一定會說：「我每天都可以發明新的、整齊畫一的圖案。」若是問數學家的話，數學家會說：「不是這樣子，如果嚴格分類的話，僅十七種而已。」假如有一個藝術家聲稱找到一種新的圖案，一定是他不小心從這十七種裡面的某一種裡多了些變化，但還是逃不出這十七種範疇。為何不多不少、剛好是十七呢？這必需用數學來證明了，這牽涉到數學裡非常深的理論，叫做群論，在此不多做說明。

　　雖然這些東西都與數學、幾何學息息相關，可是我們想要了解、欣賞，可以完全不需要用到數學。這本小書告訴我，這些整齊畫一的平面花紋、圖案共有十七種，這就足夠了。因此能收集到的資料，《典雅的幾何》都已為我們收集好了。

　　一片樹葉斜斜的擺，一排一排的排出來，這也是一種圖案。如果說樹葉換成楓葉，那可以說是多一種圖案嗎？就藝術的眼光來看，這是另外一種不同的圖案，但就數學來說，只是把普通的樹葉換成楓葉，只是換湯不換藥，所以這個規律就出來了。再以方格子來說，方格子的變形就是長方形的格子，也一定可以把平面貼滿，可以無限延伸。那三角形可不可以呢？正三角形也可以。如果把幾個正三角形湊在一起，變成正六邊形，你會發現正六邊形也可以貼滿平面。因此當這些基本圖形做一些重複、組合的時候，也可以做無限的延伸。若是以個人直覺來畫，永遠不知道到底有多少種，但數學家已經告訴我們了，放心，一共就十七種。數學好玩的地方就是可以找到精確的答案。

柏拉圖的立體

　　書中第二部分，也就是立體幾何的部分，先談到五個正多面體。正多面體就那幾種而已，不會再多了，這是非常非常有趣的事，在柏拉圖的時代就知道了。不知是否由柏拉圖本人發現，但確知來自這個學派。在西方，這五種形體叫做「柏拉圖立體」，而且也只有五種，很容易就可以證明沒有第六種。

　　哪五種呢？方糖就是一種(正立方體)，這是最符合直覺的圖形；最簡單的正四面體看起來像金字塔，但不是埃及金字塔的形狀，因為埃及金字塔的底是正方形，側面是三角形，所以可以把金字塔再簡化，讓底也變成三角形，就變成四個三角形湊在一起。埃及金字塔是個多面體，卻不是正多面體，正多面體必需每一面都一樣。如果我們拿硬紙板，剪出完全一樣大小的四個正三角形，就可以搭起來，像搭帳棚一樣，這就是正四面體。

　　最符合直覺的形體，方糖是一種，正四面體(有點像金字塔的)是另一種。但正多面體總共五種，分別有四面、六面(方糖)、八面、十二面、二十面。其實正二十面體也很簡單，就是拿二十個正三角形，統統把它黏起來就可以了；八面體則是八個正三角形所構成的，看起來像錐狀，有點像立體的菱形，像二個底部相接的金字塔。

　　從數學的角度來看，最好玩的就是正多面體只有這五種，絕對沒有第六種。這件事情符合不符合直覺呢？其實相當符合直覺，如果有黑板的話，我可以在五分鐘之內，說服任何一個國中生接受這個證明。這個證明題非常簡單，說穿了一文不值，但一般人就是沒注意到這件事。

自然與藝術

　　這些正多面體可以貫穿很多的科學和藝術。隨便舉個例子，比方正二十面體，它在生物學上面也蠻重要的，因為在自然界裡面，有很多的生物體有這種結構。最簡單的例子就是病毒，很多病毒在電子顯微鏡之下，顯示出來就是標準的正二十面體，因為病毒本身就是這樣的結構。

　　現在奈米科技很熱門，奈米科技裡面也會用到非常多的正二十面體，它跟一些材料的結構很有關係。其實這個正二十面體跟足球也很有淵源，足球外表貼的那些黑的、白的，黑的是五邊形，白的是六邊形，其實它的前身就是正二十面體。怎麼做呢？非常簡單，用厚紙板黏出一個二十面體，它有十二個尖尖的角，把這十二個尖尖的角統統都削掉，每一個角都會變成一個五邊形，然後把那五邊形貼上黑的，剩下的那些三角形就變成六邊形，看起來就很像足球了。

　　藝術方面我再舉個例子。四度空間非常非常難講，簡直是虛無飄渺，但科學家和藝術家都在試圖用他們的想像力，探索「假設的四度空間」。譬如方糖，在四度空間裡的方糖會是什麼樣子，我們可以設法在三度空間裡做一個模型，來模擬四度空間裡的方糖，但這必需是個展開圖。就好像方糖有六面，我可以把這六面通通都攤開在桌面上，就是把方糖的立體變平面，看起來就像十字架。

　　同理在四度空間裡面的超級方糖，如果變成在三度空間裡面，它看起來也很像十字架，是八個方糖碰在一起的十字架，所以它不是真正的十字架。有個畫家達利，他曾畫一幅畫，畫一個人掛在十字架上。純粹從藝術角度來欣賞，會覺得這個十字架有點怪，除了左右有兩塊讓兩隻手釘上去，前後還各突出一塊。事實上那就是四度空間的方糖在三度空間的展開，所以達利是真的知道這些數學，他不是隨便畫出來的。他的目的是讓會看的看門道，不會看的看熱鬧。達利的作品看起來很深邃、很典雅，這就是數學與藝術最完美的結合，所以我非常非常佩服達利這個畫家。

錦上添花的立體

　　書中還提到十三種阿基米德的立體，比方把正二十面體的尖角削掉，就是一種阿基米德的立體。阿基米德比柏拉圖還晚，所以他必需做一些錦上添花的工作，找一些雖然有規則，但不是真正「正」的形體。比方像足球，就不能說它是正多面體，因為它是由六邊形與五邊形二種所拼起來的。經過這樣的推廣，我們又找出十三種漂亮、有規則，但不能說是「正」的多面體，它們在科學上也相當有用。

　　後來又有人說，如果我在這些規則的立體上，再加些向外突出、像牛角那樣的東西，向外參差不齊的延伸，但是本身仍有規則，那不就是進一步的推廣。這等於是三部曲，從柏拉圖的五種「正」多面體，推廣到十三種阿基米德的立體，再推廣成有尖角、像刺蝟一樣的形體。譬如尖角粽、香包之類的，就跟最後這一類不謀而合。

違反直覺的建構式數學

　　數學真的是脫離不了直覺，數學如果脫離直覺就只有枯萎。所以不論是高深或淺顯的數學，都應該符合直覺。人跟電腦不一樣，電腦要保持理性，但是連科學家也要憑著直覺來做事。所謂「大膽假設、小心求證」，大膽假設憑的是直覺，小心求證憑的是理性，二者缺一不可。數學教育應該也是一樣，從小培養對數學的直覺，也就是對圖形和數字的直覺，我覺得非常重要。

　　可惜的是，根據我的觀察，最近六、七年來推行的建構式數學與這一點相當違背。建構式數學非常的死板，訓練出來的小孩子不把數學當數學，而把數學當成硬幫幫的法條；他們必需循規蹈矩、守法重紀才能夠得高分，不能夠有一點點的偏離，這絕對不是數學教育的正確方向。

　　如果從數學史來看數學發展，數學是從古到今很多的數學家慢慢摸索出來的，他們摸索的過程，其實跟我們從小學到中學到大學學習數學的過程非常接近，所以有些人認為最好的學習方式，就是重新走一遍數學發展史。同理，物理怎麼學？就是重新走一遍物理發展史。我們現在的建構式數學，則完全沒有做到這一點。

　　我大概一年半以前開始發現這個問題，過去一年半，我和很多人談過，從小學生、小學老師、家長到數學教授，大家都口徑一致、怨聲載道。可是怎麼辦呢？我想最有效的辦法就是自力救濟，而《典雅的幾何》就是最好的選擇。

謝馥芸整理自教育電台訪談錄音，《科學月刊》2003年7月號轉載

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